Примеры решения задач. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение

Раздел III. Основы портфельного инвестирования

Тема 8. Теория портфельного инвестирования

8.2. Ожидаемая доходность актива и портфеля

8.3. Ожидаемый риск актива и портфеля

8. 4. Риск портфеля, состоящего из двух активов

8.5. Риск портфеля, состоящего из нескольких активов

8.6. Эффективный набор портфелей

8.7. Портфель, состоящий из актива без риска и рискованного актива.

Кредитный и заёмный портфели

Термины

1. Портфель – это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор.

2 . Цель формирования портфеля – состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком значении ожидаемого риска.

3. Ожидаемая доходность портфеля оценивается как среднеарифметическая взвешенная доходностей входящих в него активов.

4. Риск актива (портфеля) определяется показателями стандартного отклонения или дисперсии его доходности.

5. Риск портфеля зависит от корреляции доходностей входящих в него активов.

6. Доминирующий портфель – это портфель, который имеет самый высокий уровень доходности для данного уровня риска или наименьшее значение риска для данного значения доходности.

7. Эффективный набор портфелей – это набор доминирующих портфелей. Его также называют эффективной границей.

8. Кредитным портфелем называют портфель, состоящий из рискованного актива и актива без риска.

9. Заёмный портфель – это портфель, который формируется вкладчиком за счёт средств займа, инвестируемого в рискованный актив.

8.1. Необходимость формирования портфелей ценных бумаг

В зависимости от объектов вложения капитала выделяют реальные и финансовые инвестиции. Если инвестор осуществляет реальные инвестиции, т. е. создаёт какое-либо предприятие или приобретает контрольный пакет акций акционерного общества, то его непосредственной задачей является обеспечение эффективной работы предприятия, так как от этого будет зависеть его прибыль.

Однако имеется большое количество инвесторов как индивидуальных (граждан), так и институциональных (паевые и пенсионные фонды, страховые компании и др.), которые не создают собственных предприятий, не имеют контрольных пакетов акций, а вкладывают свои средства в ценные бумаги (акции, облигации, производные финансовые инструменты), а также на банковские счета и вклады. Доходность и надёжность таких вложений не зависит от деятельности самого инвестора, поэтому инвестор должен самым тщательным образом подходить к отбору таких финансовых инструментов с учётом их доходности и степени риска.

Для достижения поставленных целей инвесторы обычно прибегают к дифференциации своих вложений, т. е. формируют инвестиционный портфель.

Инвестиционный портфель – это набор инвестиционных инструментов, которые служат достижению поставленных целей. Распределяя свои вложения по различным направлениям, инвестор может достичь более высокого уровня доходности своих вложений либо снизить степень их риска. Характерной особенностью портфеля является то, что риск портфеля может быть значительно меньше, чем риск отдельных инвестиционных инструментов, входящих в состав портфеля.

Главная цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Данная цель достигается,

во-первых, за счёт диверсификации портфеля, т. е. распределения средств инвестора между различными активами, и;

во-вторых, тщательного подбора финансовых инструментов.

В теории и практике управления портфелем существуют два подхода: традиционный и современный.

Традиционный подход основывается на фундаментальном и техническом анализе. Он делает акцент на широкую диверсификацию ценных бумаг по отраслям. В основном приобретаются бумаги известных компаний, имеющих хорошие производственные и финансовые показатели. Кроме того, учитывается их более высокая ликвидность, возможность приобретать и продавать в больших количествах и экономить на комиссионных.

Развитие широкого и эффективного рынка, статистической базы, а также быстрый прогресс в области вычислительной техники привели к возникновению современной теории и практики управления портфелем финансовых инструментов. Она основана на использовании статистических и математических методов подбора финансовых инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных подходов.

Главными параметрами при управлении портфелем, которые необходимо определить менеджеру, являются его ожидаемая доходность и риск. Формируя портфель, менеджер не может точно определить будущую динамику его доходности и риска. Поэтому свой инвестиционный выбор он строит на ожидаемых значениях доходности и риска. Данные величины оцениваются, в первую очередь, на основе статистических отчётов за предыдущие периоды времени. Поскольку будущее вряд ли повторит прошлое со стопроцентной вероятностью, то полученные оценки менеджер может корректировать согласно своим ожиданиям развития будущей конъюнктуры.

В качестве инвестиционных инструментов могут выступать ценные бумаги, недвижимость, драгоценные металлы и камни, антиквариат, предметы коллекционирования. Однако следует иметь в виду, что имущественные вложения имеют свою специфику; Так, вложения в недвижимость являются нередко значительными по размеру и могут оказаться довольно рисковыми из-за падения цен на недвижимость. Кроме того, у инвестора могут возникнуть затруднения в поиске покупателя в случае продажи недвижимости. Поэтому инвестиции в недвижимость, вероятно, следует рассматривать как особый вид вложений, а не как одну из составляющих инвестиционного портфеля.

Ожидаемая доходность актива и портфеля

При наличии достаточного объёма статистических данных ожидаемая доходность актива принимается равной средней доходности.

В условиях неопределённости менеджер полагает, что рискованный актив, например акция, может принести ему различные результаты, о которых в момент формирования портфеля можно судить только с некоторой долей вероятности, как представлено в табл. 8.1.

Таблица 8.1. Доходность акции с учётом вероятности

Доходность (%) Вероятность (%)

В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100% вероятности, как и показано в табл. 8.1. Ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают вероятности каждого исхода события.

В нашем случае ожидаемая доходность актива равна:

10% ∙ 0,3 + 13% ∙ 0,3 + 18% ∙ 0,2 + 24% ∙ 0,2 = 15%.

(В формуле ожидаемой доходности значения вероятности берут в десятичных величинах, и соответственно вероятность всех возможных вариантов событий равна единице.)

Запишем формулу определения ожидаемой доходности актива в общем виде:

где: Е(r) - ожидаемая доходность актива;

E(r i) - ожидаемая доходность актива в i-м случае;

π i - вероятность получения доходности в i-м случае.

Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких активов, каждый из которых обладает своей ожидаемой доходностью. Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него активов, а именно:

E(r p) = E(r 1)d 1 +E(r 2)d 2 +…...+ E(r n)d n (8.2)

где: Е(r p) - ожидаемая доходность портфеля;

Е(r 1); Е(r 2); Е(r n) – ожидаемая доходность соответственно первого, второго и n -го активов;

d 1 ; d 2 ; d n – удельный вес в портфеле первого, второго и n -го активов.

Запишем формулу (8.2) в более компактном виде, воспользовавшись знаком суммы, тогда: (8.3)

Удельный вес актива в портфеле рассчитывается как отношение его стоимости к стоимости всего портфеля или:

d i = (8.4)

где: di – удельный вес i -го актива;

P i – стоимость i -го актива;

Р p – стоимость портфеля.

Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда равна единице.

Пример 8.1.

Портфель состоит из двух активов А и В. Е(r a) = 15%, Е(r B) = 10%.

Стоимость актива А – 300 тыс. руб., актива В – 700 тыс. руб. Необходимо определить ожидаемую доходность портфеля.

Стоимость портфеля равна: 300 тыс.+ 700 тыс. =1000 тыс. руб.

Удельные веса активов равны:

d 1 = d 2 =

Для определения ожидаемой доходности портфеля на основе ожидаемой доходности активов воспользуемся формулой 8.3:

E(r p) =15% ∙ 0,3 +10% ∙ 0,7 =11,5%.

Ответ: доходность портфеля составит 11,5%.

При оценке связи между показателями доходности ценных бумаг различных эмитентов предполагают, что эта связь моделируется с помощью линейной однофакторной зависимости. Данные о доходности одного из эмитентов будем называть «показатель» и обозначим его Y i , а данные другого эмитента будем называть «фактор» и обозначим его Х i .

Простейшей мерой тесноты связи между показателем и фактором является функция S , которая используется в методе наименьших квадратов для получения статистических коэффициентов уравнения регрессии а 0 и a 1 . Чем «плотнее» точки, образованные парами наблюдений у i и x i лежат в районе линии регрессии, тем ближе связь между показателем Y и фактором X к функциональной (рис.1). Поскольку линия регрессии как бы вписывается в
«облако» точек, сумма квадратов остатков е i 2 =(у i – y ip) 2 будет тем
меньшей, чем ближе статистическая связь к функциональной.

Рис. 1. Остатки однофакторной регрессии

Для проверки наличия корреляции при парной связи используется коэффициент ковариации (корреляционный момент) К ух, который вычисляется по формуле

Если между Y и X связь отсутствует, то К yx = 0; если связь есть,
то Кух ≠ 0. Проиллюстрируем данное утверждение на примере. Найдём коэффициенты ковариации (корреляционные моменты) для следующих пар наблюдений (рис.2):

первый случай – (1,1); (5,1); (5,5); (1,5);

второй случай – (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5).

Рис.2. Корреляция между Y и X

а – отсутствие корреляции; б – полная корреляция

В первом случае очевидно отсутствие корреляционной связи между Y и X, во втором – связь носит функциональный характер.

В первом случае = = 3; = = 3;

Во втором случае = = 3; = = 3;

Таким образом, анализ очевидных примеров показал справедливость утверждения о том, что при отсутствии связи (первый случай) К = 0, при функциональной связи К ух ≠ 0.

Поскольку размерность коэффициента ковариации (корреляционного момента) зависит от размерности величин У и X, для оценки тесноты линейной связи используется безразмерная величина, называемая коэффициентом
парной корреляции (r ух) и представляющая собой отношение корреляционного момента K vx к произведению средних квадратических отклонений показателя и фактора σ у и σ x: = .

В первом случае = = 2;

= = 2.

Тогда: = .

Во втором случае также одинаковы и равны:

Следовательно, = .

Если рассмотреть функциональную убывающую связь пар наблюдений (5,1); (4,2); (3,3); (2,4); (1,5), то К ух = -2, a r yx = -1.

Полученные результаты позволяют сделать два вывода:

1) коэффициент парной корреляции изменяется в пределах от -1 (при функциональной убывающей связи) до +1 (при функциональной возрастающей связи);

2) коэффициент парной корреляции равен нулю при отсутствии
линейной связи между У и X.

Коэффициент парной корреляции является мерой приближения к линейной функциональной связи. Поэтому, если между У и X имеется функциональная связь, но она имеет нелинейный характер, то r ух не будет равным единице.

Дисперсия определяется по формуле

(8.5)

где: σ 2 - дисперсия доходности актива;

n - число периодов наблюдения;

r – средняя доходность актива; она определяется как средняя арифметическая

доходностей актива за периоды наблюдения, а именно:

где: ri - доходность актива в i -м периоде.

Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии σ = (8.7)

где: σ- стандартное отклонение доходности актива.

Пример 8.2.

Допустим, что доходность актива в каждом году за четыре года составила следующие значения:

1-й год – 20%. 2-й год – 25%, 3-й год – 18%, 4-й год – 21 %.

1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за период.

=

2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом периоде от её среднего значения.

20% – 21% = – 1%

25% – 21% = 4%

18% – 21% = – 3%

21% – 21% = 0%

3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем их

1 +16 + 9 + 0 = 26

4-й шаг. Определяем дисперсию.

(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то по правилам статистики в формуле определения дисперсии (8.5) в знаменателе вместо п - 1 берут просто значение п.)

5-й шаг. Определяем стандартное отклонение.

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от её средней величины за определённый период времени. В нашем примере мы получили отклонение доходности актива за год, равное 2, 55%.

Доходность актива в том или ином году – это случайная величина. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68,3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности, т. е. в диапазоне 21% ± 2,55%. С вероятностью 95, 5% этот диапазон составит два стандартных отклонения, т. е. 21% ± 2 х 2,55%; и с вероятностью 99, 7% диапазон составит три стандартных отклонения, то есть 21% ± 3 х 2,55%.

Поскольку доходность актива – случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остаётся 0,3% вероятности, что она выйдет за рамки трёх стандартных отклонений, т. е. может, как упасть до нуля, так и вырасти до очень большой величины.

Рис.8.1. Нормальное распределение доходности актива

График нормального распределения представлен на рис.8.1. Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доходность, которая равна 50%. Однако стандартное отклонение первого актива составляет 5%, а второго – 10%. Это говорит о том, что второй актив рискованнее первого, так как существует 68,3% вероятности, что через год доходность первого актива может составить от 45% до 55%, а второго – от 40% до 60% и т. д.

Доходность /х, ожидаемая инвестором от акции, зависит от ее рискованности. Чем выше риск, тем выше ожидаемая доходность. Кроме того, доходность зависит от уровня процентных ставок в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше ожидаемая доходность акций любой компании. К счастью, нет никакой необходимости тщательно определять величину ц. Оказывается, что стоимость фондового опциона, выраженная через цену базовой акции, совершенно не зависит от величины р. Несмотря на это, существует один аспект, связанный с ожидаемой доходностью, который часто вызывает недоразумения и стоит отдельного изучения.
Из равенства (13.1) следует, что величина //А/ представляет собой ожидаемое относительное изменение цены акции за очень короткий промежуток времени Д/. Это значит, что // - это ожидаемая доходность за очень короткий временной интервал А/,. Естественно предположить, что величина [л также ярляется ожидаемой непрерывной начисляемой доходностью акции за относительно долгий период времени. Однако это не так. Непрерывно начисляемая доходность акции за Т лет равна
1 8т х ¦= ~.1птгI о о
Из равенства (13.7) следует, что математическое ожидание Е(х) величины х равно ц - Причина различий между величинами // в равенстве (13.1) и //, - гт2/2 в равенстве (13.7) является неочевидной, но очень существенной. Рассмотрим очень большое количество очень коротких периодов времени А*. Обозначим через 6"г цену акции в конце гго интервала, а через АБг - разность Si.fi - Ь",При сделанных предположениях средняя доходность акции на каждом интервале времени близка к величине ц. Иначе говоря, значение // близко к арифметическому среднему величин Д5’,/5"г". Однако ожидаемая доходность на всем промежутке времени, состоящем из интервалов А/, близка к величине //-Е(БТ) = Б0е»т.
Логарифмируя это равенство, получим
Ь[Е(БТ)} = 1п(50) + »Т.
Соблазнительно положить
1и{Е{Бт)} = ??рп(5г)],
так чтобы выполнялось равенство Ь" - 1п(6"о) = цТ, или Е > Е, так что ^ Пример из деловой практики 13.1. Доходность взаимных фондов может вводить в заблуждение
Разница между параметрами /х и - о2 /2 часто проявляется в отчетах о доходности взаимных фондов. Предположим, что управляющий некоего взаимного фонда указал в отчете за пять лет следующие значения, представляющие собой показатели годовой доходности.
15% 20% 30%20% 25%
Арифметическое среднее этих чисел, представляющее собой их сумму, деленную на пять, равно 14%. Однако инвестор, вложивший деньги на пять лет, на самом деле получит меньше 14% годовых. Стоимость 100 долл. через пять лет будет равной следующей величине.
100 х 1,15 х 1,20 х 1,30 х 0,80 х 1,25 = 179,40 долл.
В противоположность этому, 14% годовых при ежегодном начислении принесло бы
100 х 1.145 = 192,54 долл.
Фактическая средняя доходность к концу пятого года равна
100 х 1Д2451 = 179,40 долл.
т.е. 12,4% годовых.
Какую же среднюю доходность должен был указать управляющий взаимным фондом? Ему было бы выгодно заявить: “Средняя годовая доходность, полученная нами за пять лет, равна 14%”. Несмотря на то что это правда, такое утверждение является неоднозначным. Намного точнее сказать: “Средняя доходность, полученная вкладчиком нашего фонда за последние пять лет, равна 12,4% в год”. В некоторых странах регулирующие органы требуют, чтобы управляющие инвестиционными фондами отчитывались именно так.
Это явление хорошо известно математикам. Так, геометрическое среднее нескольких чисел, не совпадающих друг с другом, всегда меньше арифметического среднего. В нашем примере доходность вычисляется путем последовательного умножения чисел 1,15, 1,20, 1,30, 0,80 и 1,25. Арифметическое среднее этих чисел равно 1,140, а геометрическое среднее - только 1,124.

Еще по теме Ожидаемая доходность:

1. ЧАСТЬ III. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ГЛАВА 13. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
2. Рис. 9.11. Перевернутая кривая доходности Предполагаемая будущая доходность

Выделим общие закономерности, отражающие взаимную связь между принимаемым риском и ожидаемой доходностью деятельности инвестора:

— более рискованным вложениям, как правило, присуща более высокая доходность;

— при росте дохода уменьшается вероятность его получения, в то время как определенный минимально гарантированный доход может быть получен практически без риска.

Напомним, что инвестиционный портфель ценных бумаг — совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу либо физическим или юридическим лицам на правах долевого участия, выступающая как целостный объект управления. В него могут входить как инструменты одного вида (например, акции или облигации), так и разные активы: ценные бумаги, производные финансовые инструменты, недвижимость.

Главная цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Данная цель достигается, во-первых, за счет диверсификации портфеля, то есть распределения средств инвестора между различными активами («Не кладите все яйца в одну корзину»), и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инструментов.

Обратите внимание!

Современная теория и практика говорят о том, что оптимальная диверсификация достигается при количестве в портфеле от 8 до 20 различных видов ценных бумаг. Дальнейшее увеличение состава портфеля нецелесообразно, так как возникает эффект излишней диверсификации, который может привести к следующим отрицательным результатам:

— невозможность качественного портфельного управления;

— покупка недостаточно надежных, доходных, ликвидных ценных бумаг;

— высокие издержки поиска ценных бумаг (расходы на предварительный анализ и т. д.);

— высокие издержки по покупке небольших партий ценных бумаг и т. д.

Издержки по управлению излишне диверсифицированным портфелем не дадут желаемого результата, так как доходность портфеля вряд ли будет возрастать более высокими темпами, чем издержки в связи с излишней диверсификацией.

Формирование и управление портфелем ценных бумаг — область деятельности профессионалов, а создаваемый портфель — это товар, который может продаваться либо частями (продают доли в портфеле для каждого инвестора), либо целиком (когда менеджер берет на себя труд управлять портфелем ценных бумаг клиента). Как и любой товар, портфель определенных инвестиционных свойств может пользоваться спросом на фондовом рынке.

К сведению

Разновидностей портфелей много, и каждый конкретный держатель придерживается собственной стратегии инвестирования. В зависимости от соотношения доходности и риска определяется тип портфеля. При этом важным признаком при классификации портфеля является то, каким способом и за счет какого источника он был получен: за счет роста курсовой стоимости ценной бумаги или за счет текущих выплат — дивидендов, процентов.

В зависимости от источника дохода портфель ценных бумаг может быть портфелем роста или портфелем дохода.

Портфель роста формируется из акций компаний, курсовая стоимость которых растет. Цель портфеля — рост капитальной стоимости вместе с получением дивидендов. Различают несколько видов портфелей роста.

Портфель агрессивного роста нацелен на максимальный прирост капитала. Сюда входят акции молодых быстрорастущих компаний. Инвестиции в акции довольно рискованны, но могут принести самый высокий доход.

Портфель консервативного роста наименее рискованный, состоит из акций крупных компаний. Состав портфеля устойчив в течение длительного времени, нацелен на сохранение капитала.

Портфель среднего роста сочетает инвестиционные свойства портфелей агрессивного и консервативного роста. Наряду с надежными ценными бумагами сюда включаются рискованные фондовые инструменты. При этом гарантируются средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Это наиболее популярный портфель среди инвесторов, не склонных к большому риску.

Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода — процентных и дивидендных выплат. Здесь также различают несколько типов портфелей:

— портфель регулярного дохода — формируется из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном риске;

— портфель доходных бумаг — состоит из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.

Портфели роста и дохода формируются во избежание потерь на фондовом рынке как от падения курсовой стоимости, так и от снижения дивидендных выплат.

При разработке стратегии инвестирования необходимо учитывать состояние рынка ценных бумаг и постоянно оценивать инвестиционный портфель, своевременно приобретать высокодоходные ценные бумаги и максимально быстро избавляться от низкодоходных активов. Поэтому не нужно стараться охватить все многообразие существующих портфелей, необходимо лишь определить принципы их формирования.

Таким образом, оценка портфеля инвестиций — основной критерий принятия стратегических решений по покупке или продаже ценных бумаг.

Доходность портфеля ценных бумаг

Портфель ценных бумаг представляет собой совокупность различных ценных бумаг, и доходность его можно определить по следующей формуле:

Доходность портфеля = (Стоимость ценных бумаг на момент расчета - Стоимость ценных бумаг на момент покупки) / Стоимость ценных бумаг на момент покупки.

Пример 1

Имеются два альтернативных портфеля А и Б, в которые инвестировано по 100 тыс. руб. Через один год стоимость портфеля А составила 108 тыс. руб., портфеля Б — 120 тыс. руб. Соответственно, доходность портфеля А составит 0,08, или 8 % годовых ((108 тыс. руб. - 100 тыс. руб.) / 100 тыс. руб.), а портфеля Б — 20 % годовых.

Под ожидаемой доходностьюпортфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

R портфеля, % = R 1 × W 1 + R 2 × W 2 + ... + R n × W n ,

где R n — ожидаемая доходность i-й акции;

W n — удельный вес i-й акции в портфеле.

Пример 2

Предположим, что портфель формируется из двух акций А и Б, доходность которых составляет 10 и 20 % годовых соответственно (табл. 1).

Таблица 1. Доходность портфеля ценных бумаг

Доходность, например, первого портфеля составит: R портфеля 1 = 0,1 × 0,8 + 0,2 × 0,2 = 0,12, то есть 12 %.

Измерение риска портфеля ценных бумаг

Все участники фондового рынка действуют в условиях неполной определенности. Соответственно, исход практически любых операций купли-продажи ценных бумаг не может быть точно предсказан, то есть сделки подвержены риску. В общем случае под риском подразумевают вероятность наступления какого-либо события. Оценить риск — это значит оценить вероятность наступления события. Риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменение доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Общий риск портфеля состоит из систематического риска (недиверсифицируемого/рыночного/неспецифического), а также несистематического риска (диверсифицируемого/нерыночного/специфического). Рыночный риск вызван общими факторами, влияющими на все активы. Наиболее сильно влияют на систематический риск изменения таких показателей, как ВВП, инфляция, уровень процентных ставок, а также средний по экономике уровень корпоративной прибыли. Нерыночный риск связан с индивидуальными особенностями конкретного актива. Этот риск может быть уменьшен с помощью диверсификации.

К сведению

На развитых рынках для устранения специфического риска достаточно составить портфель из 30-40 активов. На развивающихся рынках эта цифра должна быть выше из-за высокой волатильности рынка.

Для того чтобы определить риск портфеля ценных бумаг, в первую очередь необходимо определить степень взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов. Например, если цена одной ценной бумаги идет вверх, то растет курс и другой ценной бумаги, и наоборот, движения цен разнонаправлены или полностью независимы друг от друга. Для определения связи между ценными бумагами используют такие показатели, как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация — взаимозависимое совместное изменение двух и более признаков экономического процесса. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух ценных бумаг, например акций .

Показатель ковариации определяется по формуле:

Соv ij = ∑ (R доходность i-й акции - R средняя доходность i-й акции) × (R доходность j-й акции - R средняя доходность j-й акции) / n - 1,

где n — число периодов, за которые рассчитывалась доходность i-й и j-й акций.

Пример 3

Определим значение ковариации для двух ценных бумаг А и Б. В табл. 2 приведены данные о доходности бумаг.

Таблица 2. Доходность ценных бумаг А и В

	Доходность А	Доходность В
R средняя доходность акции

R средняя доходность i -й акции = 0,1 + 0,16 + 0,14 + 0,17 / 4 = 0,1425, или 14,25 %.

Соv ij = ((0,1 - 0,1425) × (0,12 - 0,1475) + (0,16 - 0,1425) × (0,18 - 0,1475) + (0,14 - 0,1425) × (0,14 - 0,1475) + (0,17 - 0,1425) × (0,15 - 0,1475)) / 4 = 0,0004562.

Проанализируем, какое влияние на риск портфеля оказывают коэффициенты корреляции (Cor), входящие в портфель ценных бумаг.

К сведению

Корреляция — это математический термин, обозначающий систематическую и обусловленную связь между двумя рядами данных.

На рынке акций принято рассматривать корреляцию (взаимозависимость) разных акций, либо акций и индексов. Считается, что российские акции высоко коррелированы, то есть в определенный момент времени все акции движутся в одном направлении. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Положительное значение коэффициента говорит о том, что доходности активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнктуры, отрицательное — в противоположном. При нулевом значении коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.

Показатель корреляция определяется по формуле:

Соr = Соv ij / (δ i × δ j),

где Соv ij — ковариация доходности i-й и j-й акции;

δ i — стандартное отклонение доходности i-й акции;

δ j — стандартное отклонение доходности j-й акции.

Дисперсия — это стандартное отклонение в квадрате, рассчитываемое по формуле:

δ 2 = ∑ (R доходность акции - R средняя доходность акции) 2 / n - 1.

Таким образом, стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

В целом, используя данные корреляции, можно сделать выводы:

1) чем меньше коэффициент корреляции акций в портфеле, тем меньше риск портфеля, поэтому при формировании портфеля следует включить в него акции, имеющие наименьшую корреляцию;

2) если коэффициент корреляции акций в портфеле +1, то риск портфеля усредняется;

3) если коэффициент корреляции акций в портфеле меньше +1, то риск портфеля уменьшается;

4) если коэффициент корреляции акций в портфеле -1, то можно получить портфель без риска.

К сведению

Принцип формирования портфеля ценных бумаг, при котором снижение риска достигается за счет включения в портфель большого числа различных акций, называется диверсификацией. Основоположником данной теории считается Гарри Марковиц. В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц (в будущем лауреат Нобелевской премии в области экономики (1990 г.)) опубликовал фундаментальную работу, которая является до настоящего момента основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Диверсификация Марковица — это стратегия максимально возможного снижения риска при сохранении требуемого уровня доходности; она состоит в выборе таких активов, доходности которых будут иметь наименее возможную корреляцию.

Согласно теории Г. Марковица, при обосновании портфеля инвестор должен руководствоваться ожидаемой доходностью и стандартным отклонением. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность рассматривается как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение — как мера риска, связанная с данным портфелем. При этом делается важное предположение, что инвестор при всех прочих условиях предпочтет высокую доходность, если будут заданы два портфеля с одинаковыми стандартными отклонениями. Если же инвестору предстоит выбор между портфелями, имеющими одинаковый уровень ожидаемой доходности, то предпочтение отдается портфелю с минимальным риском, то есть, по сути, получению большего дохода при минимуме возможного отклонения.

Теория Марковица стала огромным шагом на пути создания модели оценки стоимости активов Capital Asset Pricing Model (CAPM). Модель оценки стоимости активов описывает взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью активов. Взаимосвязь риска с доходностью согласно модели оценки долгосрочных активов описывается следующим образом:

Д = Д б/р + β × (Д р - Д б/р),

где Д — ожидаемая норма доходности;

Д б/р — безрисковая ставка (доход);

Д р — доходность рынка в целом;

β — коэффициент бета.

Основная идея CAPM заключается в том, что инвесторы должны получать 2 вида компенсации: за время (временная стоимость денег) и за риск. Стоимость денег во времени представлена безрисковой ставкой и является компенсацию инвестору за то, что он размещает денежные средства в какие-либо инвестиции на определенный период времени.

Обратите внимание!

Безрисковый доход измеряется, как правило, по ставкам государственных облигаций, так как те практически без риска. На западе безрисковый доход равен примерно 4-5 %, у нас же — 7-10 %. Доходность рынка в целом — это норма доходности индекса данного рынка. В США, например, индекс S&P 500, а в России — индекс РТС.

Оставшаяся часть формулы представляет собой компенсацию за дополнительный риск, взятый на себя инвестором. Здесь мерой риска является коэффициент бета, сравнивающий доходность актива с доходностью рынка за период, а также с рыночной премией.

Коэффициент бета определяется по формуле:

β = Соr х × δ х / δ

или β = Cov x / δ 2 ,

где Соr х — корреляция между доходностью ценной бумаги х и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;

Cov x — ковариация между доходностью ценной бумаги х и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;

δ х — стандартное отклонение доходности по конкретной ценной бумаге;

δ — стандартное отклонение доходности по рынку ценных бумаг в целом.

Уровень риска отдельных ценных бумаг определяется на основании таких значений:

β = 1 — средний уровень риска;

β > 1 — высокий уровень риска;

β < 1 — низкий уровень риска.

Акции с большой бетой (β > 1) называют агрессивными, с низкой бетой (β < 1) — защитными. Например, агрессивными являются акции компаний, чьи доходы существенно зависят от конъюнктуры рынка. Когда экономика на подъеме, агрессивные акции приносят большие прибыли. Например, акции автомобилестроительных компаний являются агрессивными. Инвесторы, ожидающие подъема экономики, покупают агрессивные акции, обеспечивающие больший уровень доходности в условиях растущего рынка, чем защитные. Акции компаний, чья прибыль в меньшей степени зависит от состояния рынка, являются защитными (например, акции компаний коммунальной сферы). Доходы таких компаний сокращаются в меньшей степени в условиях экономического спада. Поэтому использование защитных акций в периоды кризисов позволяет инвестору извлечь большую прибыль в сравнении с агрессивными акциями.

По портфелю ценных бумаг β рассчитывается как средневзвешенный β — коэффициент отдельных видов входящих в портфель инвестиций, где в качестве веса берется их удельный вес в портфеле. Таким образом, чем более раскованный портфель, тем больше показатель β, а следовательно, доход должен быть выше, и наоборот.

Следовательно, модель CAPM демонстрирует прямую связь между риском ценной бумаги и ее доходностью , что позволяет ей показать справедливую доходность относительно имеющегося риска и наоборот.

Пример 4

Определим значение коэффициента β для ценной бумаги А. В табл. 3 приведены данные о доходности ценной бумаги и всего рынка за девять лет.

Таблица 3. Доходность ценных бумаг А и В

	Доходность акции А, (R n , %)	Доходность рынка (R, %)
R средняя доходность

Дисперсия доходности рынка:

δ 2 рынка = ((5 - 6,7) 2 + (-4 - 6,7) 2 + (-2 - 6,7) 2 + (4 - 6,7) 2 + (9 - 6,7) 2 + (7 - 6,7) 2 + (12 - 6,7) 2 + (14 - 6,7) 2 + (15 - 6,7) 2) / 9 - 1 = 44,5.

Коэффициент выборочной ковариации доходности акции и рынка:

Cov = ((3 - 4,8)(5 - 6,7) + (-2 - 4,8)(-4 - 6,7) + (-1 - 4,8)(-2 - 6,7) + (2 - 4,8)(4 - 6,7) + (6 - 4,8)(9 - 6,7) + (5 - 4,8)(7 - 6,7) + (8 - 4,8)(12 - 6,7) + (10 - 4,8)(14 - 6,7) + (12 - 4,8)(15 - 6,7)) / 9 - 1 = 31,42.

Коэффициент β для ценной бумаги А:

β = 31,42 / 44,5 = 0,706.

Полученный результат говорит о том, что если в следующем году доходность рынка вырастет на 1 %, то инвестор вправе ожидать рост доходности акции в среднем на 0,706 %.

Таким образом, совокупность различных ценных бумаг, принадлежащих инвестору, образует портфель ценных бумаг, формирование которого имеет целью обеспечить оптимальное сочетание выгодности (доходности), надежности и ликвидности ценных бумаг. А постоянный мониторинг и оценка риска портфеля ценных бумаг позволят инвестору повысить доходность вложений.

В сфере инвестирования ожидаемая доходность (англ. Expected Rate of Return ) представляет собой процентную ставку или сумму, которую инвестор ожидает получить в течение определенного периода времени от вложений в определенный актив . С практической точки зрения этот показатель может быть рассчитан исходя из полного набора вероятностей, либо на основе исторических данных о доходности актива.

Формула

В случае, если заранее известен полный набор вероятностей, то есть вероятности всех возможных вариантов исхода событий, ожидаемую доходность можно рассчитать использовав следующую формулу:

где P i – вероятность наступления i-го исхода событий;

k i – доходность при i-ом исходе событий;

n – количество исходов событий.

В условиях реального финансового рынка инвестор, как правило, принимает решение на основании имеющейся информации об исторической доходности ценной бумаги . В этом случае ожидаемая доходность рассчитывается как среднеарифметическое:

k i – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

n – количество наблюдений.

Пример расчета

Пример 1 . Финансовый аналитик рассматривает возможность включения в портфель инвестора одной дополнительной акции , выбирая из трех компаний, работающих в сфере оптово-розничной торговли. При этом он рассматривает три возможных сценария развития событий, вероятность и предполагаемая доходность которых представлены в таблице.

Чтобы определить ожидаемую доходность каждой из ценных бумаг, необходимо воспользоваться первой из приведенных выше формулой. Для акций Компании А она составит 11,25%, акций Компании Б 12,4% и акций Компании В 12,9%.

А = 0,25*18+0,5*12+0,25*3 = 11,25%

Б = 0,3*22+0,45*14+0,25*(-2) = 12,4%

В = 0,2*35+0,45*17+0,35*(-5) = 12,9%

Если не принимать во внимание прочие факторы (например, риск), то в портфель инвестора целесообразно включить акции Компании В, поскольку они характеризуются самой высокой ожидаемой доходностью.

Пример 2 . Финансовому аналитику необходимо оценить ожидаемую доходность акций на основании данных об их исторической доходности за последние 7 недель, которые представлены в таблице.

Поскольку аналитику известна только историческая доходность акций, необходимо воспользоваться второй из приведенных выше формул.

Которые могут включать акции , облигации , казначейские векселя и т.п. Таким образом, ожидаемая доходность портфеля будет зависеть от ожидаемой доходности каждого из активов, входящих в него. Такой подход позволяет снизить риск за счет диверсификации и одновременно максимизировать доход инвестора, поскольку убытки по одним инвестициям будут компенсированы доходом по другим.

Формула

Ожидаемая доходность портфеля представляет собой суммарную ожидаемую доходность входящих в него ценных бумаг, взвешенную с учетом их доли в портфеле.

где w i – удельный вес i-ой ценной бумаги в портфеле;

I - ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги.

(Как рассчитывается ожидаемая доходность ценной бумаги можно прочитать здесь)

Пример расчета

Пример 1 . Инвестор рассматривает возможность формирования портфеля из трех ценных бумаг, доходность которых и вероятность каждого сценария представлена в таблице. При этом планируемая доля акций Компании А в портфеле составляет 35%, акций Компании Б 50% и акций Компании В 15%.

Поскольку известен полный набор вероятностей, то есть заранее известны вероятности всех возможных сценариев развития событий, ожидаемая доходность акций Компании А составит 11%, акций Компании Б 8,5% и акций Компании В 20,8%.

А = -3* 0,25+12*0,5+21*0,25 = 11%

Б = -7*0,3+8*0,4+25*0,3 = 8,5%

В = -15*0,2+23*0,5+41*0,3 = 20,8%

Таким образом, ожидаемая доходность портфеля составит 11,22%.

P = 0,35*11+0,5*8,5+0,15*20,8 = 11,22%

Пример 2 . Предположим, что инвестор сформировал портфель из трех акций, данные об исторической доходности которых представлена в таблице.

При этом доля акций Компании А в портфеле составляет 30%, акций Компании Б 40% и акций Компании В 30%.

Чтобы рассчитать ожидаемую доходность портфеля необходимо рассчитать ожидаемую доходность каждой из ценных бумаг, входящих в него. Для акций Компании А она составит 3,24%, акций Компании Б 2,48% и акций Компании В -2,08%.